Escuela Politecnica Nacional: SEPTIEMBRE

SEMANA 5

Función de dos variables

Una función de dos variables es una regla de correspondencia que asigna a cada pareja de números reales (x, y) un y sólo un número real z.

El conjunto de parejas ordenadas para las cuales la regla de correspondencia dá un número real se llama dominio de la función. El conjunto de valores z que corresponden a los pares ordenados se llama imagen o contradominio.

Una función de dos variables se denota usualmente con la notación

z = f (x, y)

Las variables x, y se llaman variables independientes, y z se llama variable dependiente.

La gráfica de una función de dos variables es el conjunto de puntos con coordenadas (x, y, z) en donde (x, y) está en el dominio de f y z = f (x, y).

Este conjunto de puntos forma una superficie en el espacio tridimensional.

En consecuencia, la grafica de una función f de dos variables es una superficie que consta de todos los puntos del espacio tridimensional cuyas coordenadas cartesianas están determinadas por las ternas ordenadas de números reales (x, y, z). Como el dominio de f es un conjunto de puntos del plano x, y, y puesto que cada par ordenado (x, y) del dominio de f corresponde a solo un valor de z, ninguna recta perpendicular al plano x,y puede intersectar a la grafica de f en mas de un punto.

Ejemplo ilustrativo 1

La función f del ejemplo 1 es el conjunto de todos los pares ordenados de la forma (P, z) tales que

z=v25- x2 -y2

Por tanto, la grafica de f es la semiesfera en el plano x y por arriba de este cuyo centro es el origen y tiene radio 5. Esta semiesfera se muestra en la figura 1.

SEMANA 6

En matemáticas, un nivel establecido de un real con valores de la función f de n variables es un conjunto de la forma

( x 1 ,…, x n )

donde c es una constante. Es decir, es el conjunto donde la función toma un valor constante dado.

Cuando el número de variables es dos, esto es una curva de nivel (línea de contorno), si es de tres se trata de una superficie plana, y para valores mayores de n el conjunto de nivel es un nivel de hipersuperficie.

Más específicamente, una curva de nivel es el conjunto de todos los valores de las raíces reales de una ecuación con dos variables x 1 y x 2. Una superficie plana es el conjunto de todos los valores de las raíces reales de una ecuación en tres variables x 1 , x 2 y x 3. Una hipersuperficie de nivel es el conjunto de todos los valores de las raíces reales de una ecuación en n ( n > 3) variables.

Un conjunto de forma

( x 1 ,…, x n )

se llama un conjunto subnivel de f --- o, alternativamente, un conjunto de nivel inferior o zanja de f . establece que el subnivel son importantes en la teoría de la minimización. El boundness de algunos que no esté vacía conjunto subnivel y el de menor semicontinuidad de la función implica que una función alcanza su mínimo, por el teorema de Weierstrass. La convexidad de todos los conjuntos de subnivel caracteriza funciones quasiconvex.

Nombres Alternativos

Conjuntos de nivel se muestran en grandes muchas aplicaciones, a menudo bajo diferentes nombres.

Por ejemplo, una curva de nivel también se conoce como curva implícita, haciendo hincapié en que dicha curva se define por una función implícita. El nombre isocontorno también se utiliza, lo que significa un contorno de la misma altura. En diversas aplicaciones, isobaras, isotermas, isogons y isocronas se isocontours.

Análogamente, una superficie plana se denomina a veces una superficie implícita o una isosuperficie.

Por último, un conjunto nivel general también se conoce como fibra.

SEMANA 7

Límite doble

El número $L\in \Re$ es el límite de la función $f(x,y)$ cuando $(x,y)$ tiende a $(x_0,y_0)$ si, prefijado cualquier número positivo $\epsilon$ , existe un número $\delta$ de manera que en todo punto $(x,y)$ del dominio de la función perteneciente al entorno reducido $E'(P_0,\delta )$ , la función tome un valor $z=f(x,y)$ que pertenezca al entorno $E(L,\epsilon )$

$\displaystyle \lim_{(x,y)\to (x_0,y_0)}f(x,y)=L \Leftrightarrow \forall \varepsilon >0\: \exists \delta >0 / (x,y)\in E'(P_0,\delta)\Rightarrow f(x,y)\in E(L,\varepsilon)$

Observaciones:

El punto $P_0$ debe ser de acumulación del dominio para poder calcular los valores de la función en puntos tan próximos a $(x_0,y_0)$ como se quiera.
La expresión $f(x,y)\in E(L,\varepsilon )$ es equivalente a escribir: $|f(x,y)-L|<\varepsilon$

Propiedades:

Si existe $\displaystyle \lim_{(x,y)\to (x_0,y_0)}f(x,y)=L$ , éste debe ser único. (Unicidad del límite)
si $\displaystyle \lim_{(x,y)\to (x_0,y_0)}f(x,y)=L$ , entonces en algún entorno del punto $P_0(x_0,y_0)$ la función f está acotada.
Si $\displaystyle \lim_{(x,y)\to (x_0,y_0)}f(x,y)=L_1$ y $\displaystyle \lim_{(x,y)\to (x_0,y_0)}g(x,y)=L_2$ , entonces:

$\displaystyle \lim_{(x,y)\to (x_0,y_0)}f(x,y)\pm g(x,y)=L_1\pm L_2$
$\displaystyle \lim_{(x,y)\to (x_0,y_0)}f(x,y)\cdot g(x,y)=L_1\cdot L_2$
$\displaystyle \lim_{(x,y)\to (x_0,y_0)}\dfrac{f(x,y)}{g(x,y)}=\dfrac{L_1}{L_2}$ , si $L_2\neq 0$
$\displaystyle \lim_{(x,y)\to (x_0,y_0)}|f(x,y)|=|\lim_{(x,y)\to (x_0,y_0)}f(x,y)|$
Si $\displaystyle \lim_{(x,y)\to (x_0,y_0)}f(x,y)=L$ , entonces, en algún entorno reducido del punto $P_0(x_0,y_0)$ la función conserva el mismo signo que el límite L.
Si $\displaystyle \lim_{(x,y)\to (x_0,y_0)}f(x,y)=L$ , entonces, la función puede expresarse como suma de su límite más un infinitésimo en el punto, o sea $f(x,y)=L+r(x,y)$ con $\displaystyle \lim_{(x,y)\to (x_0,y_0)}r(x,y)=0$

Límite infinito:

$\displaystyle \lim_{(x,y)\to (x_0,y_0)}f(x,y)=\infty \Leftrightarrow \forall M>0,\exists\delta >0 / 0<\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}<\delta \Rightarrow |f(x,y)|>M$

Límites sucesivos o reiterados:

Supongamos que para calcular $\displaystyle \lim_{(x,y)\to (x_0,y_0)}f(x,y)$ , fijamos la variable $y$ y hacemos tender $x$ a $x_0$ ; si éste límite existe, obviamente dependerá del valor que hayamos fijado de $y$ , es decir, que será una función $\varphi (y)$ . El límite de dicha función para $y$ tendiendo a $y_0$ se denomina límite sucesivo o reiterado:

$\displaystyle\lim_{y\ y_0}\left [ \displaystyle\lim_{x\to x_0}f(x,y) \right ]=\displaystyle\lim_{y\to y_0}\varphi(y)=L_1$

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