OCTUBRE

SEMANA 8

Derivación Implícita

Para la función , el esquema sería:

Por tanto:

Para la función , donde z es función implícita de las variables independientes x e y, el esquema sería:

Por tanto,

en donde se obtienen:

*  Teorema de existencia y unicidad:

Sea una ecuación de n+1 variables F(x,y,...,z) = 0 , esta ecuación define una función implícita z = f(x,y,...) en el entorno de un punto Po si:

a) F=0, es decir el punto Po satisface la ecuación.

b) Todas las derivadas parciales de F(x,y,...,z) :  , .... , son funciones continuas en el entorno del punto Po .

c)  . Es decir, la derivada de F respecto de z no se anula.

SEMANA 9

Derivada direccional

Se llaman derivadas direccional de la función z = f(x,y) en un punto P(x,y) en el sentido del vector el siguiente límite si existe y es finito:

Para calcular este límite se toma el vector unitario de la dirección del vector (dividiéndolo por su módulo). Llamamos t a la longitud del vector , es decir,con lo cual , de donde , y el límite se reduce a la única variable t

Si la función f(x, y) es diferenciable, entonces la derivada direccional se calcula por la fórmula:

(es decir la suma de los productos de las parciales por las componentes del vector unitario)

Si la función es de tres variables z=f(x, y, z) la derivada direccional se calcula de manera análoga:

(Las parciales habrá que calcularlas en el punto correspondiente. Las componentes del vector unitario coinciden con los cosenos directores del vector director. Si la función no es diferenciable esta fórmula no es válida y hay que calcular el límite anterior).

Se llama gradiente de una función z = f(x, y) en un punto P(x, y) al vector que sale del punto P y sus componentes son las derivadas parciales de la función en dicho punto

La derivada direccional se puede obtener como el producto escalar del gradiente por el vector unitario (si la función es diferenciable)

El gradiente indica el sentido de crecimiento más rápido de una función en un punto dado. La derivada direccional tiene su valor máximo en el sentido del gradiente y coincide con su módulo:

Si la función es de tres variables u = f(x, y, z) el gradiente se define de forma análoga:

SEMANA 9

Maximos y Minimos