NOVIEMBRE

SEMANA 11

Multiplicadores de Lagrange

está vinculado a la resolución de problemas de optimizan de campos escalares sujetos a restricción de las variables. Tomaremos en particular, funciones reales de un vector de dos variables o campos escalares de dos variables, que están condicionados por una función de dos variables. 

 teorema en cuestión, bien conocido, trata de la maximización (o minimización) de una función de varias variables, , bajo restricciones de igualdad   Suponiendo que tanto la función objetivo como las restricciones son continuamente diferenciables en un óptimo local  del problema y que la matriz jacobiana  tiene rango , el teorema establece la existencia de , llamadosmultiplicadores de Lagrange, tales que

(1)

siendo  la denominada función lagrangiana, definida por

(2)

La demostración más habitual de este resultado se basa en el teorema de la función implícita.

Obsérvese que (1) puede escribirse, equivalentemente,

                                                                                                                                         

(3)

el símbolo  denota aquí gradiente.

SEMANA 12

INTEGRALES MÚLTIPLES

INTEGRALES DOBLES SOBRE RECTANGULOS.

Suponga que f(x, y) está definida sobre una región rectangular R dada por

R: a<x<b, c<y<d.

Imaginamos R cubierta por una red de rectas paralelas a los ejes x y y. Esas rectas dividen R en pequeños elementos de área "A1, "A2…, "An, escogemos un punto (xk, yp) en cada elemento "Ak y formamos la suma

Si f es continua en toda la legión R, entonces al refinar el ancho de la red para hacer tender "x, "y a cero, las sumas en (1) tienden a un límite llamado integral doble de f sobre R. Su notación es

Entonces,

INTEGRALES DOBLES COMO VOLUMENES.

Cuando f(x ,y) es positiva podemos interpretar la integral doble de f sobre una región rectangular R como el volumen del prisma sólido limitado abajo por R y arriba por la superficie z = F(x, y). Cada termino f (xk, yk) "Ak en la suma Sn = 
"Ak es el volumen de un prisma rectangular vertical que aproxima el volumen de la porción del sólido que está directamente arriba de la base "Ak. La suma Sn aproxima entonces a lo que llamamos volumen total del sólido. Definido este volumen como

SEMANA 13

INTEGRAL DE LÍNEA

Una integral puede ser evaluada en un intervalo [a,b], como una integral simple:

También puede ser evaluada una integral doble sobre una región:

                                                                  


         

Esta integral se evalúa como integral definida, cuyos extremos dependen de la región considerada. Vamos a definir una integral que es similar a la integral simple excepto que, en lugar de integrar sobre un intervalo [a, b], o sobre una región, integramos sobre una curva C.  Una integral de línea es aquella integral cuya función es evaluada sobre una curva.

Sea c una curva suave a trozos situada en una región abierta R dada por:

     r(t) = x(t)i + y(t)j      para  a  £ t £ b

Si F(x,y) = M(x,y)i + N(x,y)j es conservativo en R y las funciones M y N tienen derivadas continuas en dicha región, entonces:

   siendo f la función potencial.